BAB VI
DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi normal adalah
distribusi dengan variabel acak kontinu atau
sering
disebut distribusi Gauss. Jika variabel
acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada
X = x dengan persamaan :
1
( ) =
√2
( )
dengan : π =
nilai konstan yang bila ditulis dengan 4 desimal π = 3,1416
e =
bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183.
µ = parameter, ternyata
merupakan rata-rata untuk distribusi.
σ = parameter, merupakan
simpangan baku untuk distribusi.
Nilai x mempunyai batas - ∞ < x < ∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X
berdistribusi normal. Sifat-sifat penting
distribusi normal :
1) Grafiknya selalu ada di atas sumbu
datar X.
2) Bentuknya simetris terhadap x = µ.
3) Mempunyai satu modus, jadi kurva
normal, tercapai pada x = µ sebesar ,.
4) Grafiknya mendekati (berasimtotkan) sumbu
datar x dimulai dari x = µ + 3σ ke
kanan dan x = µ - 3σ ke kiri.
5) Luas daerah grafik selalu sama dengan
satu unit persegi.
Untuk setiap pasang µ dan σ, sifat-sifat di atas akan selalu
dipenuhi, hanya
bentuk kurvanya saja yang
berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin
rendah
(platikurtik) dan untuk σ makin kecil,
kurvanya makin tinggi (leptokurtik).
(A)
(B)
(A) kurva normal dengan µ = 10 dan σ = 5,
sedangkan (B) kurva normal dengan µ = 20
dan σ = 7.
Untuk menentukan peluang harga X antara a
dan b, yakni P(a<X<b), digunakan
rumus:
(
< < )
= ( 2
)
/ ( )
Distribusi normal standar ialah distribusi
dengan rata-rata µ = 0 dan simpangan baku σ
= 1. Fungsi densitasnya berbentuk :
1
( ) = −
Untuk z dalam daerah - ∞ < z < ∞.
√2
/
Untuk menentukan distribusi normal baku
dapat menggunakan transformasi :
−
= −
Grafiknya dapat dilihat seperti berikut
ini :
Normal Umum
Normal
Standar
µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ -3 -2 -1 0 1 2 3
rata-rata = µ ≠ 0
Simpangan baku = σ ≠ 1
rata-rata = 0
σ = 1
Setelah didapatkan formasi distribusi
normal baku dari distribusi normal umum
dari rumus = −
maka daftar distribusi normal dapat digunakan. Dengan daftar
ini bagian-bagian luas dari distribusi
normal baku dapat dicari dengan cara :
1) Hitung z sehingga dua desimal.
2) Gambarkan kurvanya seperti gambar
sebelah kanan pada gambar di atas.
3) Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu
tarik garis vertikal hingga memotong kurva.
4) Luas yang tertera dalam daftar adalah
luas daerah antara garis ini dengan garis tegak
di titik nol.
5) Dalam daftar, cari tempat harga z pada
kolom paling kiri hanya hingga satu desimal
keduanya dicari pada baris paling atas.
6) Dari z di kolom kiri maju
ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka
didapat bilangan yang
merupakan luas yang dicari. Bilangan yang
didapat harus
ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4
desimal).
Karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik
terhadap µ = 0, maka luas dari garis
tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke
kanan adalah 0,5.
Beberapa contoh, penggunaan daftar normal
baku.
Akan dicari luas daerah :
1) Antara z = 0 dan
z = 2,15.
Di bawah z pada kolom kiri cari
2,1 dan di atas sekali angka 5. Dari 2,1 maju ke
kanan dan dari 5 menurun, didapat 4842.
Luas daerah yang dicari, dapat dilihat
daerah yang diarsir, = 0,4842.
0 2,15
2) Antara z = 0 dan
z = -1,86.
Karena z bertanda negatif, maka pada
grafiknya diletakkan di sebelah kiri 0. Untuk
daftar digunakan z = 1,86. Di bawah z
kolom kiri dapatkan 1,8 dan di atas angka 6.
Dari 1,8 ke kanan dan dari 6 ke bawah
didapat 4686.
Luas daerah = daerah diarsir = 0,4686.
-1,86 0
3) Antara z = -1,50
dan z = 1,82.
Dari grafik terlihat bahwa kita perlu mencari luas dua kali, lalu
dijumlahkan.
Mengikuti cara 1) untuk z = 1,82 dan cara di 2) untuk
z = -1,50, masing-masing
didapat 0,4656 dan 0,4332. Jumlah = luas
yang dicari = 0,4332 + 0,4656 = 0,8988.
-1,5 0 1,82
4) Antara z = 1,40
dan z = 2,65.
Yang dicari adalah luas dari z
= 0 sampai ke z = 1,40. Dengan cara yang dijelaskan
di atas masing-masing
didapat 0,4960 dan 0,4192. Luas yang dicari = 0,4960
–
0,4192 = 0,0768.
0 1,40 2,65
5) Dari z = 1,96 ke
kiri.
Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri (=
0,5) ditambah luas dari z = 0 sampai ke z
= 1,96. Untuk z = 1,96 dari daftar didapat
0,4750. Luas = 0,5 + 0,4750 = 0,9750.
0 1,96
6) Dari z = 1,96 ke
kanan.
Dari gambar 6) dapat dilihat bahwa yang
dicari merupakan daerah yang tidak
diarsir. Ini sama dengan luas dari z = 0
ke kanan (= 0,5) dikurangi luas dari z = 0
sampai ke z = 1,96 yang besarnya 0,4750.
Luas = 0,5 – 0,4750 = 0,0250.
Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, maka dilakukan langkah
sebaliknya. Misalnya, jika luas = 0,4931, maka dalam badan daftar dicari 4931
lalu
menuju ke pinggir sampai pada kolom z,
didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai batas z
didapat 6. Harga z = 2,46.
Beberapa bagian luas untuk
distribusi normal umum dengan rata-rata µ dan
simpangan baku σ tertentu
dengan mudah dapat ditentukan. Tepatnya, jika sebuah
fenomena berdistribusi normal, maka dari
fenomena itu :
1) Kira-kira 68,27% dari
kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-
rata, yaitu antara µ - σ dan µ + σ.
2) Ada 95,45% dari kasus
terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-
rata, yaitu antara µ - 2σ dan µ + 2σ.
3) Hampir 99,73% dari
kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-
rata, yaitu antara µ - 3σ dan µ + 3σ.
Contoh :
Berat barang siswa dalam suatu
tour rata-rata 3,750 gram dengan simpangan
baku 325 gram. Jika berat barang
berdistribusi normal, maka tentukan ada :
a) Berapa persen siswa yang
mempunyai berta barang lebih dari 4.500 gram ?
b) Berapa orang
siswa yang yang memiliki berat barang
antara 3.500 gram dan 4.500
gram, jika semuanya ada 10.000 siswa ?
c) Berapa siswa yang
orang siswa yang berat barangnya lebih kecil atau
sama dengan
4.000 gram jika semuanya ada 10.000 siswa?
d) Berapa orang
siswa yang berat barangnya 4.250 gram jika semuanya ada 5.000
siswa?
Penyelesaian :
Dengan X = berat barang siswa dalam gram, µ = 3,750
gram, σ = 325 gram,
maka :
a) Dengan transformasi
rumu = −
= −
s untuk X = 4.500 :
4.500 − 3.750
= 2,31
325
Berat yang lebih dari 4.500 gram, pada
grafiknya ada disebelah kanan z = 2,31. Luas
daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. Jadi
ada 1, 04% dari dari berat barang siswa yang
lebih dari 4.500 gram.
0 2,31
b) Dengan X = 3.500 dan X = 4.500 didapat
:
3.500 − 3.750
= = −0,77 =
2,31
325
Luas daerah yang perlu =
daerah yang diarsir = 0,2794 + 0,4896 = 0,7690. Banyak
siswa yang berat barangnya antara 3.500
gram dan 4.500 gram diperkirakan ada
(0,7690)(10.000) = 7.690.
-0,77 0 2,31
c) Karena beratnya lebih kecil
atau sama dengan 4.000 gram, maka beratnya harus lebih
kecil dari 4.000,5 gram.
4.000,5 − 3.750
= = −0,77
325
Peluang berat barang siswa lebih kecil
atau sama dengan 4.000 gram = 0,5 + 0, 2794
= 0,7794.
Banyak siswa = (0,7794)(10.000) = 7794.
d) Jika berat 4.250 gram berarti berat
antara 4.249,5 gram dan 4.250,5 gram. Jadi untuk
X = 4.249,5 dan X = 4.250,5 didapat :
4.249,5 − 3.750
= =
1,53.
325
4.250,5 − 3.750
= =
1,54
325
Luas daerah yang perlu = 0,4382 – 0,4370 =
0,0012.
Banyak siswa = (0,0012)(5.000) = 6.
Antara distribusi binom dan distribusi normal terdapat hubungan tertentu. Jika
untuk fenomena yang berdistribusi binom
berlaku :
a) N cukup besar,
b) π = P(A) = peluang
peristiwa A terjadi, tidak terlalu
dekat kepada nol, maka
distribusi binom dapat didekati oleh distribusi normal dengan rata-rata µ = Nπ dan
simpangan baku σ =
(1 − ).
Untuk pembakuan, agar daftar distribusi normal baku
dapat dipakai, maka
digunakan transformasi :
−
=
(1 − )
Dengan X = variabel acak dalam distribusi diskrit yang
menyatakan terjadinya
peristiwa A. Karena disini telah mengubah variabel acak
diskrit dari distribusi binom
menjadi variabel acak
kontinu dalam distribusi normal, maka nilai-nilai X perlu
mendapat penyesuaian. Yang
dipakai ialah dengan jalan menambah atau
mengurangi
dengan 0,5.
Perhatikan distribusi binom oleh
distribusi normal sangat berfaedah, antara lain
untuk mempermudah perhitungan.
Contoh :
10% dari siswa tergolong kategori A.
Sebuah sampel acak terdiri atas 400 siswa
telah diambil. Tentukan peluangnya akan
terdapat :
a) paling banyak 30 orang
tergolong kategori A.
b) Antara 30 dan 50 orang tergolong
kategori A.
c) 55 orang atau lebih termasuk
kategori A.
Penyelesaian :
Soal ini merupakan soal distribusi binom. Tetapi lebih
cepat dan mudah bila
diselesaikan dengan distribusi normal.
Kita ambil X = banyak siswa termasuk kategori
A. Maka dari segi X ini didapat:
µ = 0,1 x 400 orang = 40 0rang.
Σ = √400 0,1 0,9
orang = 6 orang.
a) Paling banyak 30 orang
dari kategori A, berarti X = 0, 1, 2, ..., 30. Melakukan
penyesuaian terhadap X, maka sekarang X
menjadi - 0,5 < X < 30,5, sehingga :
=
−0,5 − 40
6
30,5 − 40
= −6,57.
=
6
= −1,58
Luas daerah yang diarsir adalah 0,5
– 0, 4429 = 0,0571. Peluangnya terdapat
paling banyak 30 orang termasuk kategori A
adalah 0,0571.
-1,58 0
b) Untuk distribusi normal, disini berlaku
30,5 < X < 49,5. Bilangan standar z-nya
masing-masing :
=
30,5 − 40
6
= −1,58 =
49,5 − 40
6
= +1,58.
Dari daftar distribusi normal baku
terdapat peluang yang ditanyakan = 2(0,4429) =
0,8858.
c) 55 orang atau lebih untuk
distribusi binom memberikan X > 54,5
untuk distribusi
normal.
Maka
54,5 − 40
= =
2,42
6
Sehingga kita perlu
luas daerah dari Z = 2,42
ke kanan. Dari daftar distribusi
normal baku didapat peluang yang dicari =
0,5 – 0,4922 = 0,0078.
0 2,42
Apabila kondisi populasi digambarkan dalam bentuk
kurva, bisa dijumpai
berbagai macam bentuk
kurva. Hal ini tergantung dari kondisi penyebaran frekuensi
skor yang terkumpul. Pada umumnya kondisi populasi dalam dunia pendidikan
berdistribusi normal. Tetapi tidak
selamanyapopulasi yang dijumpai akan berdistribusi
normal, oleh karena itu, kita harus hati-hati dalam menghadapi data tersebut. Analisis
statisik untuk data yang
berdistribusi normal akan berbeda, dengan demikian maka
interpretasinyapun akan dipengaruhi oleh
bentuk distribusinya.
Data populasi akan berdistribusi normal jika rata-rata nilainya sama dengan
modenya serta sama dengan mediannya. Ini berarti bahwa sebagian nilai (skor)
mengumpul pada posisi tengah, sedangkan
frekuensi skor yang rendah dan yang tinggi
menunjukkan kondisi yang semakin sedikit
seimbang. Oleh karena penurunan frekuensi
pada skor yang semakin rendah
dan skor yang semakin tinggi adalah
seimbang, maka
penurunan garis kurva ke kanan dan ke kiri
akan seimbang.
Kurva normal mempunyai hubungan erat dengan data yang
kontinue (interval
mauoun ratio). Distribusi yang normal kurvanya merupakan distribusi yang
paling
banyak dijumpai dan digunakan sebagai pengembangan rumus-rumus statistik
parametrik (inferensial statistik). Disamping
itu, sifat normal ini yang paling
banyak
ditunjukkan oleh sifat populasi.
Distribusi normal mempunyai sifat-sifat
yang khusus, yaitu :
1. Bentuknya simetri dengan
sumbu X.
2. Nilai rata-rata = mode =
media.
3. Mode hanya satu
(unimodal).
4. Ujung-ujung grafiknya hanya mendekati sumbu X
atau dengan kata lain tidak akan
bersinggungan maupun berpotongan dengan
sumbu X (berasimtot dengan sumbu X).
5. Kurva akan landai jika rentangan skor besar, sebaliknya jika rentangan skor kecil
maka kurvanya akan meninggi.
6. Luas daerah kurva akan sama
dengan luas satu persegi empat.
Bentuk kurva normal tergantung
pada distribusi nilai/skor yang akan dibuat
kurvanya. Penyebaran skor dan panjang
pendeknya rentangan distribusi berpengaruh
besar atau menentuka bentuk
kurvanya. Jika jumlah responden sama, maka kurva
normal dari distribusi skor tersebut akan
berbeda bentuknya.
Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh
perbedaan rentangan nilai dan
simpangan baku ada tiga macam, yaitu :
1. Leptokurtik, merupakan bentuk
kurva normal yang meruncing tinggi karena
perbedaan frekuensi pada skor-skor yang
mendekati rata-rata sangat kecil.
2. Platykurtic, merupakan kurva normal yang
mendatar rendah karena perbedaan
frekuensi pada skor-skor yang mendekati
rata-rata sangat kecil.
3. Normal, merupakan bentuk
kurva normal yang biasa, artinya bentuknya merupakan
bentuk antara leptokurtic dan
platykurtic, karena penyebaran skor biasa dan tidak
terjadi kejutan-kejutan yang berarti.
Bentuk ketiga kurva normal itu dapat
dilihat pada grafik, berikut ini :
(1)
(2)
(3)
Kurva normal dapat pula dibuat
berdasarkan skor yang telah ditransformasikan
ke Z skor. Proses transformasi distribusi skor yang normal akan tetap
menghasilkan
distribusi Z skor yang
normal pula. Untuk kepercayaan kita, dapat dibuktikan melalui
contoh soal di bawah.
Contoh : 1
Suatu penyebaran nilai matematika siswa pada suatu
sekolah menengah pertama
sebagai berikut :
65 65
75 75
60 70 70 70
80 80 80 85
75 75
85 90
Berdasarkan data tersebut di atas buatlah
:
1. Perhitungan rata-rata dan
simpangan bakunya.
2. Transformasi Z skor.
3. Kurva berdasarkan distribusi
skor asli.
4. Kurva berdasarkan distribusi
Z skor.
Rumus rata-rata yang
digunakan adalah rumus rata-rata hitung
yaitu (∑X) : n,
sedangkan simpangan bakunya dihitung
dengan rumus
= ∑( ) dan rumus
= √ untuk
sejumlah sampel, tetapi jika yang
akan dihitung simpangan
bakunya merupakan populasi maka pembagi
pada perhitungan variance sebesar N.
Jumlah skor adalah 1200
Jumlah responden adalah 16
Jadi, rata-ratanya adalah 1200 : 16 = 75
Jika data di atas merupakan populasi maka
σ = 7,91
Jika data di atas merupakan sampel maka Sd
= 8,16. Apabila kita menganggap
bahwa skor tersebut adalah skor yang berasal
dari populasi, maka Z skornya adalah :
Untuk X = 60
Untuk X = 65
Untuk X = 70
Untuk X = 75
Untuk X = 80
Untuk X = 85
Untuk X = 90
Z skor = (60 - 75) : 7,91 = -1,90
Z skor = (65 - 75) : 7,91 = -1,26
Z skor = (70 - 75) : 7,91 = -0,63
Z skor = (75 - 75) : 7,91 = 0
Z skor = (80 - 75) : 7,91 = 0,63
Z skor = (85 - 75) : 7,91 = 1,26
Z skor = (90 - 75) : 7,91 = 1,90
Berdasarkan distribusi skor asli kurvanya
adalah :
4
3
2
1
0
60 65 70 75 80 85 90 95
µ
Berdasarkan distribusi Z skor kurvanya
adalah :
4
3
2
1
0
- - - 0 0,63 1,26 1,90 95
1,90 1,26 0,63
µ
Jelas kini bahwa distribusi skor yang
normal akan tetap normal walaupun
dilakukan transformasi ke Z skor.
Mengingat kurva normal tersebut simetri, maka garis
tegak lurus pada sumbu
X di titik µ akan membagi dua bagian kurva menjadi sama
besar. Luas seluruh daerah di bawah kurva normal adalah 100% atau
sama dengan 1
(satu), sehingga belahan
kanan kurva normal dan belahan sebelah kiri kurva normal
masing-masing mempunyai luas 0,5 atau 50%.
Untuk lebih jelasnya tentang luas daerah
di bawah kurva normal dapat dilihat pada
figur di bawah.
Melalui transformasi ke Z skor kita akan
dapat mencari luar daerah di bawah
kurva normal, untuk nilai-nilai Z
tertentu. Dalam kasus ini kita hanya berpedoman pada
tabel distribusi normal. Tabel ini disamping dapat digunakan untuk
menentukan luas
daerah di bawah kurva normal untuk
batas titik tertentu, juga dapat digunakan untuk
mencari titik tertentu. Tentunya apabila titik
Z yang tidak diketahui, sedangkan luas
daerah di bawah kurva normal diketahuinya.
Cara menggunakan tabel ini sangat mudah
karena dalam tabel hanya terdiri dari tiga kolom dan kita tinggal melihat pasangan
angka antar kelompok dalam satu baris yang
slah satu angkanya kita ketahui.
-2 -1 0 1 2
µ
68, 26%
95,46%
Selanjutnya dapat dijelaskan sebagai
berikut :
1. Yang memuat berbagai
kemungkinan nilai Z.
2. Yang menunjukkan luas daerah
di bawah kurva antara titik µ atau 0 dengan nilai Z.
3. Yang menunjukkan luas daerah
di bawah kurva diluar nilai Z atau luas daerah di
bawah kurva di atass nilai Z.
Pada luas kolom B dan C selalu
berjumlah 0,5 karena jumlah B dan C
merupakan setengah dari luas daerah di
bawah kurva normal. Penggunaan kolom B dan
C secara serentak
(bersama) tidak pernah terjadi kecuali untuk
mengontrol kebenaran
angka-angka tersebut. Gunakan salah satu
kolom B dan C sesuai dengan kebutuhannya.
Contoh : 2
a. Jika diketahui Z skor 1,26
hitunglah luas daerah di bawah kurva normal antara µ
dengan titik Z.
b. Jika diketahui Z skor min
1,90 hitunglah luas daerah di bawah kurva normal antara µ
dengan titik Z.
c. Jika luas daerah di luar
titik Z adalah 0,4207 carilah titik Z nya.
d. Jika luas daerah diantara
titik Z dengan µ adalah 0,1179 carilah titik Z nya.
Dengan berpedoman pada tabel distribusi normal kita dapat menjawab semua
soal di atas.
1. Lihat pada (tabel distribusi normal) pada kolom a yang mengandung
Z 1,26,
kemudian cari jodohnya pada kolom B
diperoleh angka 0,3962.
2. Lihat pada kolom A yang
mengandung Z 1,90 (tanda minus tidak
mempengaruhi
penentuan angka dalam tabel), kemudian cari jodohnya pada kolom B diperoleh
angka 0,4713.
3. Lihat pada kolom C yang
mengandung angka 0,4207, kemudian cari jodohnya di
kolom A diperoleh 0,20.
4. Lihat pada kolom B yang
mengandung angka 0,1179, kemudian cari jodohnya di
kolom A diperoleh 0,30.
DISTRIBUSI T DAN DISTRIBUSI F
1. DISTRIBUSI STUDENT ATAU
DISTRIBUSI T
Distribusi dengan variabel acak
kontinu lainnya, selain dari distribusi normal,
ialah distribusi Student atau distribusi
t. Fungsi densitasnya adalah:
( ) =
……………….
(1)
∞
dan K merupakan bilangan tetap< t <berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi
-∞
yang besarnya bergantung
pada n sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva
sama dengan satu
unit. Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n – 1) yang
dinamakan
derajat kebebasan, akan disingkat dengan
dk.
Jika sebuah populasi mempunyai model
dengan persamaan seperti dalam rumus
(1), maka dikatakan populasi itu
berdistribusi t dengan dk (n – 1).
Bentuk grafiknya seperti distribusi normal baku, simetrik
terhadap t = 0,
sehingga sepintas lalu
hamper tak ada bedanya. Untuk
harga-harga n yang besar,
biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati
distribusi distribusi normal baku, yaitu:
( ) = −1
√2
Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun berbentuk
tabel. Daftar tersebut berisikan
nilai-nilai t untuk dk dan peluang tertentu. Kolom paling
kiri, kolom dk, berisikan derajat
kebebasan, baris teratas berisikan nilai peluang.
Untuk penggunaan daftar distribusi t,
perhatikan
gambar di samping. Gambar ini merupakan grafik
(baca: nu) dimana p = (n – 1).ndistribusi t dengan dk =
Luas bagian diarsir = p dan
dibatasi paling kanan oleh
tp. Harga tp inilah yang
dicari dari daftar untuk
dan
p yang diberikan.npasangan
0 tp
Contoh penggunaan daftar distribusi
t.
1. Untuk n = 13, jadi dk = 12
dan p = 0,95, maka t = 1,78.
Ini didapat dengan meliat tabel distrubusi
t dengan jalan maju ke kanan dari 12 dan
menurun dari 0,95.
2. Untuk n = 16, tentukan t
supaya luas yang diarsir = 0,95.
-t 0 t
Dari grafik dapat dilihat bahwa luas ujung
kiri = 1 – 0,95 = 0,05. Kedua ujung
ini sama luas, jadi luas ujung kanan,
mulai dari t ke kanan = 0,025. Mulai dari t ke
kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975. Harga p
inilah yang dipakai untuk daftar.
Dengan = 15 (lihat daftar
distribusi t) kitan maju ke
kanan dan dari p = 0,975
kita menurun, didapat t = 2,13. Jadi,
antara t = 2,13 luas yang diarsir = 0,95.
3. Tentukan t sehingga luas dari t ke kiri = 0,05
dengan dk = 9. Untuk ini p yang
digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t
= 1,83. Karena yang diminta kurang dari
0,5 maka t harus bertanda negatif. Jadi, t
= -1,83.
2. DISTRIBUSI F
Distribusi F ini juga mempunyai variabel
acak yang kontinu. Fungsi densitasnya
mempunyai persamaan:
( )
( )
= ∙
(
)
………………..
(2)
Dengan variabel acak
F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap
yang harganya
nbergantung pada 1 ndan 2, sedemikian sehingga luas
di bawah kurva sama dengan satu,
n1 n= dk pembilang dan 2 = dk
penyebut.
Jadi, distribusi F ini mempunyai dua buah
derajat kebebasan. Grafik distribusi F
tidak simetrik dan umumnya sedikit positif. Seperti juga distribusi lainnya, untuk
keperluan perhitungan dengan distribusi F, daftar distribusi F telah disediakan seperti
daftar distribusi t. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk
peluang 0,01 dan 0,05
dengan derajat kebebasan n1 ndan 2. Peluang ini sama dengan
luas daerah ujung kanan
yang diarsir, sedangkan dk
= n1 ada pada baris paling
atas dan dk = n2 pada kolom
paling kiri.
Untuk setiap pasang dk, n1 dan n2, daftar berisikan
harga-harga F dengan kedua luas daerah ini
0,01 atau
0,05.
F
nUntuk tiap dk = 2, daftar
terdiri atas dua baris, yang atas untuk peluang p = 0,05
dan yang bawah untuk p = 0,01.
Contoh:
Untuk pasangan derajat kebebasan n1 = 24
dan n2 = 8, ditulis juga n(1, n2) = (24, 8),
maka untu p = 0,05
didapat F = 3,12 sedangkan untuk p
= 0,01 didapat F = 5,28
(terdapat pada daftar distribusi F. Ini didapat dengan jalan mencari 24
pada baris atas
dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24 turun
dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan-
bilangan tersebut. Yang atas untuk p =
0,05 dan yang bawah untuk p = 0,01.
Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari
daftar distribusi F dengan peluang p dan
ndk (1n, 2) dan
F0,01(24,8) = 5,28.
Meski daftar yang
diberikan hanya untuk peluang p = 0,01 dan p = 0,05, tetapi
sebenarnya masih bias didapat nilai-nilai F dengan peluang
0,99 dan 0,95. Untuk itu,
digunakan hubunga:
1
( )( , )=
( , )
Dalam rumus di atas, perhatikan antara p
dan (p – 1) dan pertukaran antara derajat
kebebasan (v1n, 2n) menjadi (2n, 1).
Contoh: Telah didapat
F0,05(24,8) = 3,12
Maka, ,(
, )=, =
0,321
Tidak ada komentar:
Posting Komentar